11535. В трапеции ABCD
основание AD
больше боковой стороны CD
. Биссектриса угла D
пересекает сторону AB
в точке K
. Докажите, что AK\gt KB
.
Решение. Пусть M
и N
середины сторон AB
и CD
соответственно. Отметим на основании AD
такую точку E
, что DE=CD
. В равнобедренном треугольнике CDE
биссектриса угла D
является медианой. Следовательно, точка F
её пересечения с отрезком CE
лежит на средней линии MN
трапеции ABCD
. Тогда точки D
и K
лежат по разные стороны от прямой MN
, а так как точки A
и E
— по одну сторону от этой прямой, то A
и K
— по разные. Значит, точка K
лежит на стороне BM
трапеции MBCN
. Следовательно,
AK\gt AM=BM\gt BK.