11536. Дан треугольник ABC
, в котором 2\angle B-\angle A=180^{\circ}
. Внутри него выбрана точка K
, а на его стороне AB
— отличная от B
точка L
так, что \angle ACK=2\angle BCK
и BK=KL
. Докажите, что CK+AL=AC
.
Решение. Пусть \angle A=2\alpha
, \angle C=3\gamma
, \angle B=180^{\circ}-\beta
. Тогда из условия вытекает, что
\angle B=180^{\circ}-\beta=180^{\circ}-3\gamma-2\alpha~\Rightarrow~\beta=2\alpha+3\gamma,
2\angle B-\angle A=180^{\circ}~\Rightarrow~2(180^{\circ}-\beta)-2\alpha=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha+\beta=90^{\circ}.
Из равенств \beta=2\alpha+3\gamma
и \alpha+\beta=90^{\circ}
получаем, что \alpha+\gamma=30^{\circ}
Отложим на луче AB
такой отрезок AP
, что AP=AC
. Достаточно доказать, что CK=PL
, так как тогда
CK+AL=PL+AL=AP=AC.
Опустим перпендикуляры: CH
— на AP
, KT
— на CH
, KM
— на AB
. Из равнобедренного треугольника ACP
получаем, что
\angle CPB=\angle CPA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A=90^{\circ}-\alpha=\beta=\angle PBC,
откуда PH=BH
. Кроме того, из равенства BK=KL
следует, что LM=MB
. Поэтому
KT=MH=\frac{1}{2}LP.
По условию задачи \angle ACK=2\angle BCK
, поэтому
\angle KCB=\frac{1}{3}\angle C=\gamma,
значит,
\angle KCT=\angle KCB+\angle BCH=\angle KCB+(90^{\circ}-\angle CBP)=
=\gamma+(90^{\circ}-\beta)=\gamma+\alpha=30^{\circ},
откуда CK=2KT=PL
. Что и требовалось доказать.