11539. В остроугольном треугольнике ABC
угол при вершине A
равен 45^{\circ}
. Докажите, что периметр этого треугольника меньше удвоенной суммы его высот, опущенных из вершин B
и C
.
Решение. Пусть высоты BB_{1}
CC_{1}
пересекаются в точке H
. Заметим, что треугольники AB_{1}B
, AC_{1}C
, HB_{1}C
и HC_{1}B
— прямоугольные равнобедренные с прямыми углами при вершинах B_{1}
и C_{1}
соответственно. Поэтому
AB_{1}=BB_{1},~AC_{1}=CC_{1},~B_{1}C=HB_{1},~C_{1}B=HC_{1}.
Кроме того, по неравенству треугольника BH+CH\gt BC
. Следовательно,
AB+AC+BC=(AC_{1}+C_{1}B)+(AB_{1}+B_{1}C)+BC\lt
\lt(AC_{1}+C_{1}B)+(AB_{1}+B_{1}C)+BH+CH\lt
\lt(CC_{1}+C_{1}B)+(BB_{1}+B_{1}C)+BH+CH=
=(CC_{1}+BB_{1})+(C_{1}B+B_{1}C)+BH+CH=
(CC_{1}+BB_{1})+(C_{1}H+B_{1}H)+BH+CH=
=(CC_{1}+BB_{1})+(C_{1}H+CH)+(B_{1}H+BH)=
=(CC_{1}+BB_{1})+CC_{1}+BB_{1}=2(CC_{1}+BB_{1}).
Что и требовалось доказать.