11542. В треугольнике ABC
провели биссектрису BD
, а в треугольниках ABD
и CBD
— биссектрисы DE
и DF
соответственно. Оказалось, что EF\parallel AC
. Найдите угол DEF
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть отрезки BD
и EF
пересекаются в точке G
. Из условия получаем, что
\angle EDG=\angle EDA=\angle DEG,
откуда GE=GD
. Аналогично, GF=GD
. Значит, GE=GF
, т. е. BG
— биссектриса и медиана, а значит, и высота в треугольнике BEF
. Тогда DG
— медиана и высота, а значит, и биссектриса в треугольнике EDF
, поэтому
\angle DEG=\angle EDG=\angle FDG=\angle GFD.
Поскольку сумма четырёх входящих в последнее равенство углов равна 180^{\circ}
, каждый из них равен 45^{\circ}
.