11543. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
известно, что AB
параллельно DE
, CD=DE
, CE
перпендикулярно BC
и AD
. Докажите, что прямая, проходящая через A
параллельно CD
, прямая, проходящая через B
параллельно CE
, и прямая, проходящая через E
параллельно BC
, пересекаются в одной точке.
Решение. Треугольник CDE
равнобедренный, а AD
— прямая, содержащая высоту, опущенную на его основание. Значит, DA
— биссектриса угла при вершине D
треугольника CDE
, поэтому углы ADE
и ADC
равны. Углы ADE
и BAD
равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB
и DE
секущей AD
. Тогда углы ADC
и BAD
равны.
Прямые BC
и AD
перпендикулярны одной и той же прямой, поэтому они параллельны, и ABCD
— равнобокая трапеция. Тогда AB=CD=DE
. Значит, ABDE
— параллелограмм.
Пусть O
— точка пересечения его диагоналей AD
и BE
. Тогда AO=OD
, BO=OE
. Пусть X
— точка пересечения прямой, проходящей через точку B
параллельно CE
, и прямой, проходящей через точку E
параллельно BC
. Тогда BCEX
— параллелограмм. Точка O
— середина его диагонали BE
, значит она же является серединой диагонали CX
. Тогда диагонали AD
и CX
четырёхугольника ACDX
точкой пересечения делятся пополам. Значит, ACDX
— параллелограмм, поэтому AX
параллельно CD
, и все три указанные в условии задачи прямые пересекаются в одной точке.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2017-2018, X, дистанционный этап, третий тур, задача 3