11548. В треугольнике ABC
на стороне BC
взята точка K
. KM
и KP
— биссектрисы треугольников AKB
и AKC
соответственно. Оказалось, что диагональ MK
делит четырёхугольник BMPK
на два равных треугольника. Докажите, что M
— середина AB
.
Решение. Прямые KM
и MP
перпендикулярны как биссектрисы смежных углов. Поэтому треугольник BMK
тоже прямоугольный. В треугольнике MBK
угол BKM
острый, так как в сумме с углом CKP
он составляет 90^{\circ}
. Сторона MK
у двух наших треугольников — общая, поэтому угол MBK
равен углу MPK
, также острому. Значит, в треугольнике MBK
прямой угол — это угол BMK
. Но тогда в треугольнике ABK
биссектриса KM
является высотой, а значит, и медианой. Следовательно, M
— середина стороны AB
.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2016-2017, IX, третий тур дистанционного этапа, задача 2