11549. Дан равносторонний треугольник
ABC
. Точка
D
выбрана на продолжении стороны
AB
за точку
A
, точка
E
— на продолжении
BC
за точку
C
, а точка
F
— на продолжении
AC
за точку
C
, причём
CF=AD
и
AC+EF=DE
. Найдите угол
BDE
.
Ответ.
60^{\circ}
.
Указание. Достройте треугольник
ACE
до параллелограмма
ACEG
.
Решение. Достроим треугольник
ACE
до параллелограмма
ACEG
. Поскольку
CF=AD,~CE=AG~\mbox{и}~\angle FCE=\angle DAG=60^{\circ},

то треугольники
DAG
и
FCE
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
GD=EF
. Следовательно,
DE=AC+EF=GE+GD.

Значит, точка
G
лежит на отрезке
DE
, и поэтому
DE\parallel AC
. Следовательно,
\angle BDE=\angle BAC=60^{\circ}.

Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2015-2016, VIII, заключительный этап, первый день, задача 3