11550. Дан параллелограмм
ABCD
. На сторонах
AB
и
BC
и продолжении стороны
CD
за точку
D
выбраны соответственно точки
K
,
L
и
M
, причём треугольники
KLM
и
BCA
равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок
KM
пересекает отрезок
AD
в точке
N
. Докажите, что
LN\parallel AB
.
Решение. Первый способ. Проведём через точку
L
прямую, параллельную
KM
(рис. 1). Пусть она пересекает прямые
AB
и
CD
в точках
P
и
Q
соответственно. Заметим, что высоты треугольников
BCA
и
KLM
, опущенные из соответственных вершин
C
и
L
, равны. В свою очередь, они равны расстояниям между парами параллельных прямых
AB
,
CD
и
KM
,
PQ
. Значит, эти прямые образуют ромб
KPQM
, поэтому
PK=KM=AB
. Значит,
BP=KP-KB=AB-KB=AK.

Кроме того, из параллельности получаем, что
\angle AKN=\angle BPL,~\angle NAK=\angle LBP.

Значит, треугольники
AKN
и
BPL
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда
AN=BL
, а так как
AN\parallel BL
, то четырёхугольник
ANLB
— параллелограмм. Следовательно,
LN\parallel AB
.
Второй способ. Проведём через точку
L
прямую, параллельную
AB
(рис. 2). Пусть она пересекает прямую
KM
в точке
N'
. Тогда
\angle BKL=\angle KLN'
. Кроме того, по условию
\angle KBL=\angle LKN'
. Следовательно, треугольники
BKL
и
KLN'
подобны по двум углам, поэтому
\frac{KN'}{BL}=\frac{LN'}{KL}=\frac{LN'}{BC}

(последнее равенство верно, поскольку
KL=BC
). С другой стороны, в трапеции
MKBC
отрезок
N'L
параллелен основаниям, поэтому
\frac{KN'}{BL}=\frac{KM}{BC}=\frac{AB}{BC}.

Таким образом,
\frac{LN'}{BC}=\frac{KN'}{BL}=\frac{AB}{BC},

поэтому
LN'=AB
. Значит,
ABLN'
— параллелограмм, а тогда точка
N'
лежит на
AD
и поэтому совпадает с
N
. Следовательно,
LN\parallel AB
.
Автор: Обухов Б. А.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2015-2016, VIII, заключительный этап, второй день, задача 8