11550. Дан параллелограмм ABCD
. На сторонах AB
и BC
и продолжении стороны CD
за точку D
выбраны соответственно точки K
, L
и M
, причём треугольники KLM
и BCA
равны (именно с таким соответствием вершин). Отрезок KM
пересекает отрезок AD
в точке N
. Докажите, что LN\parallel AB
.
Решение. Первый способ. Проведём через точку L
прямую, параллельную KM
(рис. 1). Пусть она пересекает прямые AB
и CD
в точках P
и Q
соответственно. Заметим, что высоты треугольников BCA
и KLM
, опущенные из соответственных вершин C
и L
, равны. В свою очередь, они равны расстояниям между парами параллельных прямых AB
, CD
и KM
, PQ
. Значит, эти прямые образуют ромб KPQM
, поэтому PK=KM=AB
. Значит,
BP=KP-KB=AB-KB=AK.
Кроме того, из параллельности получаем, что
\angle AKN=\angle BPL,~\angle NAK=\angle LBP.
Значит, треугольники AKN
и BPL
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда AN=BL
, а так как AN\parallel BL
, то четырёхугольник ANLB
— параллелограмм. Следовательно, LN\parallel AB
.
Второй способ. Проведём через точку L
прямую, параллельную AB
(рис. 2). Пусть она пересекает прямую KM
в точке N'
. Тогда \angle BKL=\angle KLN'
. Кроме того, по условию \angle KBL=\angle LKN'
. Следовательно, треугольники BKL
и KLN'
подобны по двум углам, поэтому
\frac{KN'}{BL}=\frac{LN'}{KL}=\frac{LN'}{BC}
(последнее равенство верно, поскольку KL=BC
). С другой стороны, в трапеции MKBC
отрезок N'L
параллелен основаниям, поэтому
\frac{KN'}{BL}=\frac{KM}{BC}=\frac{AB}{BC}.
Таким образом,
\frac{LN'}{BC}=\frac{KN'}{BL}=\frac{AB}{BC},
поэтому LN'=AB
. Значит, ABLN'
— параллелограмм, а тогда точка N'
лежит на AD
и поэтому совпадает с N
. Следовательно, LN\parallel AB
.