11556. В треугольнике ABC
сторона AB
больше стороны BC
. На продолжении стороны BC
за точку C
отметили точку N
так, что 2BN=AB+BC
. Пусть BS
— биссектриса треугольника ABC
, M
— середина стороны AC
, а L
— такая точка на отрезке BS
, что ML\parallel AB
. Докажите, что 2LN=AC
.
Решение. Продлим отрезок BN
за точку N
и отрезок BL
за точку L
на отрезки NN'=BN
и LL'=BL
соответственно. Поскольку M
— середина AC
и ML\parallel AB
, прямая ML
содержит среднюю линию MK
треугольника ABC
. Поскольку L
— середина BL'
, эта прямая содержит также среднюю линию LK
треугольника BCL'
. Итак, CL'\parallel LM\parallel AB
, поэтому
\angle CL'B=\angle L'BA=\angle L'BC,
откуда CL'=CB
. Кроме того,
CN'=BN'-BC=2BN-BC=BA~\mbox{и}~\angle N'CL'=\angle CBA.
Значит, треугольники N'CL'
и ABC
равны по двум сторонам и углу между ними, а так как LN
— средняя линия треугольника BL'N'
, то
AC=N'L'=2LN.