11557. CK
— биссектриса треугольника ABC
. На сторонах BC
и AC
выбраны точки L
и T
соответственно, причём CT=BL
и TL=BK
. Докажите, что треугольник с вершинами в точках C
, L
и T
подобен исходному.
Решение. Отметим такую точку S
, что BLSK
— параллелограмм. Если точка S
совпала с T
, то подобие очевидно. Если же S
не совпала с T
, то поскольку
CT=BL=KS~\mbox{и}~\angle SKC=\angle KCL=\angle KCA,
точки K
, C
, T
, S
— вершины равнобедренной трапеции. Кроме того, TL=KB=LS
, поэтому точка L
лежит на оси симметрии этой трапеции, следовательно,
\angle CTL=\angle KSL=\angle KBL,
откуда и следует, что треугольник LTC
подобен треугольнику ABC
по двум углам.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2014-2015, VII, заключительный этап, второй день, задача 8