11559. В треугольнике ABC
провели биссектрису BD
, в треугольнике BDC
— биссектрису DE
, а в треугольнике DEC
— биссектрису EF
. Оказалось, что прямые BD
и EF
параллельны. Докажите, что угол ABC
вдвое больше угла BAC
.
Решение. Из условия следует, что
\angle ABD=\angle EBD=\angle CEF=\angle DEF=\angle BDE.
Таким образом, внутренние накрест лежащие углы ABD
и BDE
при пересечении прямой BD
прямыми AB
и DE
равны. Значит, AB\parallel DE
. Следовательно,
\angle BAC=\angle EDF=\angle EDB=\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC.
Что и требовалось доказать.