1156. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Докажите, что расстояние от каждой точки одной из двух параллельных прямых до второй прямой одно и то же.
Указание. Пусть точки A
и B
лежат на одной из двух параллельных прямых, а A_{1}
и B_{1}
— их проекции на вторую прямую. Докажите равенство прямоугольных треугольников BAA_{1}
и A_{1}B_{1}B
.
Решение. Пусть точки A
и B
лежат на одной из двух параллельных прямых, а A_{1}
и B_{1}
— их проекции на вторую прямую. Докажем, что AA_{1}=BB_{1}
. Для этого проведём прямую A_{1}B
и рассмотрим прямоугольные треугольники BAA_{1}
и A_{1}B_{1}B
. По свойству параллельных прямых \angle ABA_{1}=\angle B_{1}A_{1}B
, поэтому рассматриваемые треугольники равны по гипотенузе (A_{1}B
— общая) и острому углу. Следовательно, AA_{1}=BB_{1}
.