11562. На стороне AB
треугольника ABC
с углом в 100^{\circ}
при вершине C
взяты точки P
и Q
, причём AP=BC
и BQ=AC
. Пусть M
, N
, K
— середины отрезков AB
, CP
, CQ
соответственно. Найдите угол NMK
.
Ответ. 40^{\circ}
.
Решение. Достроим треугольник до параллелограмма ACBD
. Тогда M
— середина отрезка CD
. Треугольники APD
и BQD
равнобедренные, так как AP=BC=AD
и BQ=AC=BD
, поэтому
\angle ADB=\angle ADP+\angle BDQ-\angle QDP.
Значит,
\angle QDP=\angle ADP+\angle BDQ-\angle ADB=
=\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DAB\right)+\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle DBA\right)-100^{\circ}=
=80^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle DAB+\angle DBA)=40^{\circ}.
Осталось заметить, что \angle QDP=\angle KMN
, так как MK
и MN
— средние линии треугольников DQC
и DPC
соответственно.