11564. Внутри угла BAC
, равного 45^{\circ}
, взята точка D
так, что каждый из углов ADB
и ADC
равен 45^{\circ}
. Точки D_{1}
и D_{2}
симметричны точке D
относительно прямых AB
и AC
соответственно. Докажите, что точки D_{1}
, D_{2}
, B
и C
лежат на одной прямой.
Решение. По условию треугольники ABD
и ABD_{1}
симметричны, поэтому
AD_{1}=AD,~\angle BAD_{1}=\angle BAD,~\angle AD_{1}B=\angle ADB=45^{\circ}.
Аналогично,
AD_{2}=AD,~\angle CAD_{2}=\angle CAD,~\angle AD_{2}C=\angle ADC=45^{\circ}.
Из равенств
\angle BAD_{1}=\angle BAD,~\angle CAD_{2}=\angle CAD
следует, что
\angle D_{1}AD_{2}=2\angle BAC=90^{\circ}.
При этом
AD_{1}=AD=AD_{2},
поэтому
\angle AD_{1}D_{2}=\angle AD_{2}D_{1}=45^{\circ}.
Таким образом,
\angle AD_{1}D_{2}=\angle AD_{1}B,~\angle AD_{2}D_{1}=\angle AD_{2}C,
причём точки B
и D_{2}
лежат по одну сторону от прямой AD_{1}
, а точки C
и D_{1}
— по одну сторону от прямой AD_{2}
, откуда и следует утверждение задачи.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2013-2014, VI, дистанционный этап, второй тур, задача 4