11565. На стороне AC
треугольника ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине B
отмечены такие точки D
и E
, что AD=AB
и CE=CB
. Из точки D
опущен перпендикуляр DF
на прямую BE
. Найдите отношение \frac{BD}{DF}
.
Ответ. 2.
Решение. Положим \angle CAB=\alpha
, \angle ACB=\beta
. Заметим, что
\angle ABC=\angle ABD+\angle CBE-\angle DBE,
а так как AD=AB
и CE=CB
, то
\angle DBE=\angle ABD+\angle CBE-\angle ABC=
=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}+\frac{180^{\circ}-\beta}{2}-120^{\circ}=60^{\circ}-\frac{\alpha+\beta}{2}=30^{\circ}.
Таким образом, в прямоугольном треугольнике BFD
угол при вершине B
равен 30^{\circ}
. Следовательно, \frac{BD}{DF}=2
.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2013-2014, VI, дистанционный этап, третий тур, задача 2