11566. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
выбраны соответственно точки K
, L
, M
и N
так, что AK=AN
, BK=BL
, CL=CM
, DM=DN
и KLMN
— прямоугольник. Докажите, что ABCD
— ромб.
Решение. Треугольники ANK
, BKL
, CLM
и DMN
— равнобедренные по условию. В равнобедренных треугольниках углы при основаниях равны. Пусть \angle AKN=\angle ANK=\alpha
, \angle BKL=\angle BLK=\beta
, AK=AN=a
, BK=BL=b
.
Угол NKL
прямой, поэтому
\alpha+\beta=90^{\circ},
а так как
\angle KLB+\angle MLC=90^{\circ},
то
\angle MLC=\angle LMC=\alpha.
Аналогично рассуждая, получаем, что \angle NMD=\angle MND=\beta
. Поскольку NK=LM
как противоположные стороны прямоугольника, треугольники AKN
и CLM
равны по стороне и двум при лежащим к ней углам. Аналогично равны треугольники BKL
и DMN
. Тогда
AK=AN=CL=CM=a,~BK=BL=DM=DN=b,
поэтому стороны четырёхугольника ABCD
равны a+b
, т. е. это ромб.