11567. На стороне AC
треугольника ABC
выбрана такая точка D
, что BD=AC
. Медиана AM
этого треугольника пересекает отрезок BD
в точке K
. Оказалось, что DK=DC
. Докажите, что AM+KM=AB
.
Решение. Обозначим через L
точку, симметричную K
относительно точки M
. Тогда BKCL
— параллелограмм, поэтому BK=CL
. Значит,
AD=AC-CD=BD-DK=BK=CL.
Поскольку углы BDA
и ACL
равны как соответственные, а BD=AC
по условию, то треугольники BDA
и ACL
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
AB=AL=AM+ML=AM+KM.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2013-2014, VI, региональный этап, задача 4