11570. В треугольнике ABC
известно, что AB=BC
. На лучах CA
, AB
и BC
отмечены соответственно точки D
, E
и F
так, что AD=AC
, BE=BA
, CF=CB
. Найдите сумму углов ADB
, BEC
и CFA
.
Ответ. 90^{\circ}
Решение. Положим \angle BAC=\angle BCA=\alpha
. Треугольники BAD
и FCA
равны, так как
AD=CA,~BA=BC=FC,~\angle BAD=180^{\circ}-\alpha=\angle FCA.
Значит,
\angle CFA+\angle ADB=\angle ABD+\angle ADB=\alpha.
С другой стороны, EB=BA=BC
, поэтому
180^{\circ}-2\alpha=\angle ABC=2\angle BEC~\Rightarrow~\angle BEC=90^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle CFA+\angle ADB+\angle BEC=\alpha+(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2012-2013, V, дистанционный этап, первый тур, задача 3