11574. На отрезке AB
отмечена точка M
. Точки P
и Q
— середины отрезков AM
и BM
соответственно, точка O
— середина отрезка PQ
. Выберем точку C
так, чтобы угол ACB
был прямым. Пусть MD
и ME
— перпендикуляры, опущенные из точки M
на прямые CA
и CB
, а F
— середина отрезка DE
. Докажите, что длина отрезка OF
не зависит от выбора точки C
.
Решение. Заметим, что CDME
— прямоугольник. Его диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому точка F
— середина отрезка CM
. Отрезки PF
и FQ
— средние линии треугольников ACM
и BCM
соответственно. Значит, они параллельны взаимно перпендикулярным отрезкам AC
и CB
, т. е. угол PFQ
— прямой. Наконец, FO
— медиана в прямоугольном треугольнике PFQ
, проведённая из вершины прямого угла. Точки P
и Q
фиксированы, поэтому длина FO=\frac{1}{2}PQ
не зависит от выбора точки C
. Что и требовалось доказать.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2012-2013, V, региональный этап, задача 3