11575. Дан равнобедренный треугольник ABC
(AC=BC
). На сторонах BC
, AC
, AB
отмечены точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно. Оказалось, что C_{1}B_{1}
перпендикулярно AC
, B_{1}A_{1}
перпендикулярно BC
и B_{1}A_{1}=B_{1}C_{1}
. Докажите, что A_{1}C_{1}
перпендикулярно AB
.
Решение. Пусть \angle A=\angle B=\alpha
. Тогда \angle C=180^{\circ}-2\alpha
. Треугольник CA_{1}B_{1}
прямоугольный, значит,
\angle CB_{1}A_{1}=90^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)=2\alpha-90^{\circ}.
Тогда
\angle A_{1}B_{1}C_{1}=180^{\circ}-90^{\circ}-(2\alpha-90^{\circ})=180^{\circ}-2\alpha,
а так как B_{1}A_{1}=B_{1}C_{1}
, то
\angle B_{1}C_{1}A_{1}=\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\alpha.
Значит,
\angle AC_{1}A_{1}=\angle AC_{1}B_{1}+\angle B_{1}C_{1}A_{1}=(90^{\circ}-\alpha)+\alpha=90^{\circ},
т. е. A_{1}C_{1}
перпендикулярно AB
.