11576. Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60^{\circ}
. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60^{\circ}
.
Решение. Пусть биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. Заметим, что \angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B\gt90^{\circ}
(см. задачу 4770), т. е. угол AIC
тупой. Значит, \angle AIC_{1}=60^{\circ}
. Тогда \angle AIC=120^{\circ}
, и из равенства
120^{\circ}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B
находим, что \angle B=60^{\circ}
.