11577. Точка O
— центр описанной окружности равнобедренной трапеции A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
. Точки U
и V
— середины оснований A_{4}A_{3}
и A_{1}A_{2}
соответственно, а прямая Симсона l_{4}
точки A_{4}
и треугольника A_{1}A_{2}A_{3}
пересекает прямую UV
в точке S
. Докажите, что l_{4}\parallel OA_{3}
и US=OV
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку A_{4}
перпендикулярно A_{1}A_{2}
, вторично пересекает описанную окружность данной трапеции в точке P
. Тогда \angle PA_{4}A_{3}=90^{\circ}
, поэтому PA_{3}
— диаметр окружности, и точка O
лежит на прямой A_{3}P
. При этом PA_{3}\parallel l_{4}
(см. задачу 6089). Следовательно, OA_{3}\parallel l_{4}
. Что и требовалось доказать.
Пусть хорды A_{4}P
и A_{1}A_{2}
пересекаются в точке Q
. Тогда
VQ=SA_{4}=SA_{3},
а так как PA_{3}\parallel SQ
, то \angle OA_{3}U=\angle SQV
. Значит, прямоугольные треугольники OUA_{3}
и SVQ
равны по катету и прилежащему острому углу. Тогда OU=SV
. Следовательно, US=OV
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 1 задача 887 (1983, с. 276), с. 33