11578. В треугольнике ABC
стороны AB
и BC
равны. Точка D
внутри треугольника такова, что угол ADC
вдвое больше угла ABC
. Докажите, что удвоенное расстояние от точки B
до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC
, равно AD+DC
.
Решение. Пусть l
— биссектриса углов, смежных с углом ADC
, точка K
— проекция точки B
на прямую l
, а точки B'
и C'
симметричны соответственно точкам B
и C
относительно прямой l
. Тогда BB'=2BK
— как раз удвоенное расстояние от точки B
до прямой l
. Кроме того, точка D
лежит на отрезке AC'
(так как прямые DA
и DC
симметричны относительно прямой l
), и
AC'=AD+DC'=AD+DC.
Обозначим \angle ABC=\beta
, \angle ABB'=\varphi
. Тогда \angle CBB'=\alpha-\varphi
. Из симметрии \angle BB'C'=\angle CBB'=\alpha-\varphi
и B'C'=BC=AB
.
Пусть прямая BB'
пересекает прямые AC'
и CD
в точках O
и M
соответственно. Эти точки симметричны относительно прямой l
, поэтому треугольник MOD
равнобедренный. Значит, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BOC'=\angle MOD=\frac{1}{2}\angle ADC=\beta,
\angle BAC'=\angle BOC'-\angle ABB'=\beta-\varphi=\angle BB'C'=\angle OB'C',~
\angle OC'B'=\angle AC'B'=\angle MOC'-\angle OB'C'=\beta-(\beta-\varphi)=\varphi
Таким образом, треугольники ABO
и B'C'O
равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому BO=C'O
и OB'=OA
. Следовательно,
BB'=BO+OB'=C'O+OA=AC'=AD+DC'=AD+DC.
Что и требовалось доказать.