11579. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
выполнены соотношения AB=BD
, \angle ABD=\angle DBC
. На диагонали BD
нашлась такая точка K
, что BK=BC
. Докажите, что \angle KAD=\angle KCD
.
Решение. Отложим на стороне AB
отрезок BE=BC
. Равнобедренные треугольники EBK
и KBC
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому EK=KC
, а
\angle AEK=180^{\circ}-\angle BEK=180^{\circ}-\angle BKC=\angle CKD.
Кроме того,
KD=BD-BK=BA-BE=EA.
Значит, треугольники AEK
и DKC
равны по двум сторонам и углу между ними. Далее, поскольку оба треугольника BEK
и BAD
равнобедренные,
\angle BEK=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle EBD=\angle BAD,
поэтому AD\parallel EK
, откуда
\angle KAD=\angle EKA=\angle KCD.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2008-2009, I, заключительный этап, второй день, задача 6