11580. Точка D
лежит на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
, но не совпадает с её серединой. Докажите, что среди отрезков AD
, BD
и CD
нет равных.
Решение. Первый способ. AD
не равно BD
по условию. Допустим, AD=CD
. Тогда равны углы DAC
и ACD
. Пусть каждый из них равен x
. Но тогда каждый из углов DBC
и DCB
равен 90^{\circ}-x
, откуда BD=CD=AD
— противоречие. Аналогично, CD
не может равняться BD
.
Второй способ. AD
не равно BD
по условию. Допустим, AD=CD
. Тогда точка D
лежит на серединном перпендикуляре к катету AC
. Следовательно, по теореме Фалеса D
— середина AB
, что противоречит условию.