11581. В треугольнике ABC
медиана BM
в два раза меньше стороны AB
и образует с ней угол в 40^{\circ}
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 110^{\circ}
.
Решение. Продлим медиану BM
за точку M
на её длину и получим точку D
. Поскольку AB=2BM
, отрезки AB
и BD
равны, т. е. треугольник ABD
равнобедренный. Следовательно, углы BAD
и BDA
равны по \frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}
каждый. Четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, угол CBD
, как и ADB
, равен 70^{\circ}
, а угол ABC
, равный сумме CBD
и ABD
, равен 110^{\circ}
.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2009-2010, II, дистанционный этап, второй тур, задача 3