11583. В четырёхугольнике ABCD
сторона AB
равна диагонали AC
и перпендикулярна стороне AD
, а диагональ AC
перпендикулярна стороне CD
. На стороне AD
взята такая точка K
, что AC=AK
. Биссектриса угла ADC
пересекает BK
в точке M
. Найдите угол ACM
.
Ответ. \angle ACM=45^{\circ}
.
Решение. Поскольку треугольник BAK
прямоугольный и равнобедренный, \angle AKB=45^{\circ}
. Пусть биссектриса угла CAD
пересекает отрезок BK
в точке N
. Треугольники ANK
и ANC
равны, так как сторона AN
общая, AC=AK
, \angle CAN=\angle KAN
. Поэтому
\angle NCA=\angle NKA=45^{\circ}.
Значит, CN
— биссектриса прямого угла ACD
, а N
— точка пересечения биссектрис треугольника ACD
. Таким образом, точка N
лежит на биссектрисе угла ACD
и на отрезке BK
, т. е. совпадает с точкой M
. Следовательно,
\angle ACM=\angle ACN=45^{\circ}.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2009-2010, II, заключительный этап, первый день, задача 3