11591. В треугольнике ABC
угол C
втрое больше угла A
, а сторона AB
вдвое больше стороны BC
. Докажите, что угол ABC
равен 60^{\circ}
.
Решение. Пусть D
— середина стороны AB
. Поскольку BD=BC
, треугольник BCD
равнобедренный. Обозначим \angle CAD=x
, \angle ACD=y
. Тогда \angle DCB=3x-y
, а \angle CDB=x+y
. Поскольку \angle DCB=\angle CDB
, то 3x-y=x+y
, откуда y=x
. Тогда
DC=DA=DB=BC,
откуда получаем, что треугольник BCD
равносторонний. Следовательно, \angle B=60^{\circ}
.