11592. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BL
, и на её продолжении за точку L
выбрана точка K
, для которой LK=AB
. Оказалось, что AK\parallel BC
. Докажите, что AB\gt BC
.
Решение. Пусть \angle ABC=2x
. Тогда каждый из углов ABL
, CBL
и AKB
равен x
(последний — как внутренний накрест лежащий с углом CBL
при пересечении параллельных прямых AK
и BC
с прямой BK
). Следовательно, треугольник BAK
равнобедренный, поэтому AK=AB
.
По условию LK=AB
, значит, треугольник AKL
равнобедренный, поэтому углы KAL
, KLA
и BLC
равны 90^{\circ}-\frac{x}{2}
. Из треугольников BAK
и BCL
получаем, что
\angle BAC=180^{\circ}-2x-\left(90^{\circ}-\frac{x}{2}\right),
\angle BCA=180^{\circ}-x-\left(90^{\circ}-\frac{x}{2}\right).
Значит, \angle BCA\gt\angle BAC
. Следовательно, AB\gt BC
.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2011-2012, IV, дистанционный этап, второй тур, задача 3