11593. Внутри острого угла BAC
взяли такую точку D
, для которой угол CAD
вдвое больше угла BAD
. Могла ли точка D
оказаться вдвое дальше от прямой AC
, чем от прямой AB
?
Ответ. Не могла.
Решение. Опустим из точки D
перпендикуляр DE
на прямую AB
, а на луче AC
отложим отрезок AF=AD
. В равнобедренном треугольнике ADF
проведём медиану AG
. Поскольку она является также биссектрисой и высотой, углы DAE
и DAG
равны, и прямоугольные треугольники AED
и AGD
равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому DG=GF=ED
, откуда DF=2DE
. Но отрезок DF
не перпендикулярен AC
, и потому длиннее перпендикуляра DH
, опущенного из точки D
на прямую AC
. Значит, DH\lt2DE
. Следовательно, DH\ne2DE
.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2011-2012, IV, дистанционный этап, третий тур, задача 4