11595. Трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
такова, что угол ABD
прямой и BC+CD=AD
. Найдите отношение оснований AD:BC
.
Ответ. AD:BC=2
.
Решение. Первый способ. Отложим на стороне AD
отрезок AE=BC
. Тогда ABCE
— параллелограмм, а ED=CD
. Поскольку AB\parallel CE
, диагональ BD
перпендикулярная AB
, перпендикулярна и CE
. Следовательно, она проходит через середину F
основания CE
равнобедренного треугольника CDE
. Треугольники CFB
и EFD
равны, так как
EF=CF,\angle EFD=\angle BFC~\mbox{и}~\angle BCF=\angle FED,
поэтому ED=BC=AE
. Следовательно, AD:BC=2:1
.
Второй способ. Выберем на стороне AD
такую точку K
, для которой отрезок BK
параллелен CD
. Тогда KD=BC
, и, значит, AK=CD
. Кроме того, BK=CD
(KBCD
— параллелограмм), поэтому AK=BK
и, значит, высота KH
треугольника AKB
является медианой. При этом KH\parallel BD
, поэтому KH
— средняя линия прямоугольного треугольника ABD
. Тогда
AD=2KD=2BC.
Следовательно, AD:BC=2:1
.