11596. На стороне BC
треугольника ABC
взята точка D
таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку AD
проходит через центр вписанной в треугольник ABC
окружности. Докажите, что этот перпендикуляр проходит через вершину треугольника ABC
.
Решение. Опустим из центра J
вписанной в треугольник окружности перпендикуляр JN
на сторону CB
. Допустим, точка N
лежит на отрезке DC
(случай, когда точка N
лежит на отрезке DB
, разбирается аналогично.). Опустим из центра J
перпендикуляр JM
на сторону CA
. Поскольку JA=JD
и JM=JN
(CJ
— биссектриса угла ACB
), прямоугольные треугольники JMA
и JND
равны по катету и гипотенузе. Поэтому AM=DN
. Складывая это равенство с равенством CM=CN
, получаем, что CA=CD
. Осталось заметить, что серединный перпендикуляр к основанию AD
равнобедренного треугольника CAD
проходит через его вершину C
. Что и требовалось доказать.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2011-2012, IV, заключительный этап, первый день, задача 1