11597. Углы треугольника ABC
удовлетворяют условию 2\angle A+\angle B=\angle C
. Внутри этого треугольника на биссектрисе угла A
выбрана точка K
, для которой BK=BC
. Докажите, что \angle KBC=2\angle KBA
.
Решение. Первый способ. Поскольку \angle C\gt\angle A+\angle B
, то \angle C\gt90^{\circ}
. Выберем на луче AC
точку T
таким образом, что BC=BT
. Заметим, что
\angle ATB=\angle BCT=\angle A+\angle B.
Поскольку 2\angle A+\angle B=\angle C
, имеем
3\angle A+2\angle B=\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},
откуда
\angle CBT=180^{\circ}-2(\angle A+\angle B)=\angle A+\angle B+\angle C-2\angle A-2\angle B=
=\angle C-\angle A-\angle B=\angle A,
поэтому
\angle ABT=\angle A+\angle B=\angle ATB.
Тогда треугольник ATB
равнобедренный, AT=AB
, значит, точка K
лежит на его оси симметрии. Следовательно, BK=KT
.
Итак,
BT=BC=BK=KT,
т. е. треугольник BKT
равносторонний. Значит,
\angle KBC=60^{\circ}-\angle CBT=60^{\circ}-\angle A.
Следовательно,
\angle ABK=30^{\circ}-\angle BAK=30^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}KBC.
Второй способ. Выберем точку L
на биссектрисе угла A
внутри треугольника таким образом, чтобы выполнялось условие \angle LBC=2\angle LBA
. Чтобы доказать, что точки L
и K
совпадут, достаточно доказать, что BL=BC
.
Пусть биссектриса угла CBL
пересекает AC
в точке N
. Тогда
\angle BNC=\angle A+\frac{2}{3}\angle B=\frac{1}{3}\angle A+\frac{1}{3}\angle B+\left(\frac{1}{3}\angle B+\frac{2}{3}\angle A\right)=
=\frac{1}{3}(\angle A+\angle B+\angle C)=60^{\circ}.
Заметим, что L
— точка пересечения биссектрис треугольника ABN
. Значит, \angle LNB=60^{\circ}
, и треугольники BCN
и BLN
равны по стороне BN
и двум прилежащим к ней углам, откуда и следует равенство BL=BC
.