11600. На стороне AC
треугольника ABC
взята такая точка D
, что \angle BDC=\angle ABC
. Пусть K
— точка пересечения биссектрис углов ABC
и BDC
. Докажите, что AK=BK
.
Решение. Пусть \angle BDC=\angle ABC=\beta
. Тогда
\angle ABK=\angle CDK=\beta,~\angle ADK=180^{\circ}-\beta=180^{\circ}-\angle ABK,
значит, около четырёхугольника ABKD
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы BAK
и BDK
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Тогда треугольник AKB
равнобедренный, AK=BK
. Что и требовалось доказать.
Автор: Мурашкин М. В.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2008, № 474, с. 133, 10 класс, задача 4