11614. В четырёхугольнике ABCD
, в котором BA=BC
и DA=DC
, продолжения сторон BA
и DC
пересекаются в точке N
, а продолжения сторон BC
и DA
— в точке M
. Известно, что разность двух сторон четырёхугольника ABCD
равна радиусу вписанной в этот четырёхугольник окружности. Найдите отношение отрезков BD
и MN
.
Ответ. BD:MN=1:2
.
Решение. Треугольники ABD
и CBD
равны по трём сторонам, поэтому BD
— биссектриса углов ABC
и BCD
. Значит, центр O
окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
, лежит на диагонали BD
. Треугольники CDM
и ADN
равны по стороне (DC=DA
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому DM=DN
, т. е. треугольник MDN
равнобедренный.
Предположим, что AD\gt BC
. Пусть K
и T
— точки касания окружности со сторонами AD
и AB
соответственно, а радиус окружности равен r
. Тогда AK=AT
, поэтому
AD-AB=DK-BT=r.
Пусть P
— точка пересечения прямых BD
и MN
. Тогда DP
— биссектриса, а значит, медиана и высота равнобедренного треугольника MDN
.
Из подобия прямоугольных треугольников DKO
и DPM
получаем, что \frac{DK}{KO}=\frac{DP}{PM}
, откуда
DK=KO\cdot\frac{DP}{PM}=r\cdot\frac{DP}{PM}.
Из подобия прямоугольных треугольников BTO
и BPN
получаем, что \frac{BT}{TO}=\frac{BP}{PN}
, откуда
BT=TO\cdot\frac{BP}{PN}=r\cdot\frac{BP}{PN}=r\cdot\frac{BP}{PM}.
Значит,
r=DK-BT=r\cdot\frac{DP}{PM}-r\cdot\frac{BP}{PM}=r\cdot\frac{DP-BP}{PM}=r\cdot\frac{BD}{PM},
откуда BD=PM
. Следовательно,
\frac{BD}{MN}=\frac{BD}{2PM}=\frac{1}{2}.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2013, № 624, с. 153, 10 класс, задача 4