11615. Окружность с центром O
вписана в угол BAC
. Касательная к окружности, параллельная AO
, пересекает луч AB
в точке N
. Докажите, что AN=AO
.
Решение. Пусть окружность касается прямой AC
в точке P
, а прямой, проходящей через точку N
параллельно AO
, — в точке Q
. Окружность вписана в угол PNQ
, поэтому NO
— биссектриса этого угла. Значит,
\angle ANO=\angle PNO=\angle QNO=\angle AON,
поэтому треугольник ANO
равнобедренный, и AN=AO
. Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2014, № 644, с. 156, 8 класс, задача 4