11616. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
взята точка D
. Отрезки DE
и DF
— биссектрисы треугольников ADC
и BDC
. Оказалось, что CD=EF
. Докажите, что точка D
— середина гипотенузы AB
.
Решение. Пусть точки E
и F
лежат на катетах AC
и BC
соответственно. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
, поэтому из точки D
, как и из точки C
, отрезок EF
виден под прямым углом. Значит, точки C
и D
лежат на окружности с диаметром EF
. Хорда EF
этой окружности равна диаметру, поэтому EF
— тоже диаметр. Тогда DE\perp AC
и DF\perp BC
, т. е. биссектрисы DE
и DF
треугольников ADC
и BDC
являются высотами. Значит, эти треугольники равнобедренные, AD=CD=DB
. Следовательно, D
— середина AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2014, № 649, с. 157, 9 класс, задача 4