11618. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
точки K
, L
, M
и N
середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Для некоторой точки S
, лежащей внутри четырёхугольника, оказалось, что KS=LS
и NS=MS
. Докажите, что \angle KSN=\angle MSL
.
Решение. Отрезки LM
и KN
— средние линии треугольников BCD
и BAD
, поэтому
LM=\frac{1}{2}BD=KN.
Значит, треугольники LSM
и KSN
равны по трём сторонам. Следовательно, \angle MSL=\angle KSN
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Четырёхугольник KLMN
— параллелограмм. Серединные перпендикуляры к его сторонам LM
и KN
совпадают, значит, это прямоугольник. Диагонали AC
и BD
исходного четырёхугольника параллельны сторонам этого прямоугольника, Следовательно, AC\perp BD
.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2015, № 677, с. 161, 8 класс, задача 2
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2015, I, 8 класс, задача 2