11619. Пусть AL
— биссектриса остроугольного треугольника ABC
, P
— точка пересечения продолжения высоты BH
с описанной около треугольника ABC
окружностью. Докажите, что если \angle BLA=\angle BAC
, то BP=CP
.
Решение. Обозначим \angle BAL=\angle CAL=\alpha
. Тогда
\angle BLA=\angle BAC=2\alpha,~\angle BPC=\angle BAC=2\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle HCB=\angle ACL=\angle BLA-\angle CAL=2\alpha-\alpha=\alpha.
Из прямоугольного треугольника BHC
получаем, что
\angle CBP=\angle CBH=90^{\circ}-\angle HCB=90^{\circ}-\alpha.
Тогда
\angle BCP=180^{\circ}-\angle BPC-\angle CBP=180^{\circ}-2\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=
=90^{\circ}-\alpha=\angle CBP.
Значит, треугольник BPC
равнобедренный, BP=CP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2015, № 683, с. 161, 9 класс, задача 3
Источник: Кавказская математическая олимпиада. — 2015, I, 10 класс, задача 5