11624. На катете BC
прямоугольного треугольника ABC
(\angle BCA=90^{\circ}
) выбраны точки M
и N
так, что \angle CAM=\angle MAN=\angle NAB
. Прямая, проходящая через точку M
, пересекает отрезки AN
и AB
в точках E
и F
соответственно. Найдите AB
, если AE=a
, \angle ANB=130^{\circ}
и \angle BFM=110^{\circ}
.
Ответ. 2a
.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CAN=\angle ANB-\angle ACN=130^{\circ}-90^{\circ}=40^{\circ},
поэтому
\angle BAN=\angle CAM=\angle MAN=20^{\circ},~\angle CAB=60^{\circ},~\angle ABC=30^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AEF=\angle BFM-\angle FAE=110^{\circ}-20^{\circ}=90^{\circ},
поэтому AE\perp ME
. Прямоугольные треугольники ACM
и AEM
равны по общей гипотенузе AM
и острому углу, значит, AC=AF=a
. Катет AC
прямоугольного треугольника ABC
лежит против угла в 30^{\circ}
, следовательно, AB=2AC=2a
.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Муниципальные олимпиады Московской области. — М.: МЦНМО, 2019. — 2017, № 744, с. 170, 8 класс, задача 4