11628. Из точки A
проведены касательные AB
и AC
к окружности с центром O
(B
и C
— точки касания). Окружность, проходящая через точку B
, касается прямой AC
в точке A
и пересекает отрезок AO
в точке M
. Докажите, что M
— середина отрезка AO
.
Решение. Радиус OB
, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольник ABO
прямоугольный с прямым углом при вершине B
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABM=\angle MAC=\angle BAM.
Значит, треугольник AMB
равнобедренный, MA=MB
, поэтому точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
. Этот перпендикуляр проходит через середину отрезка AB
и параллелен OB
, следовательно, по теореме Фалеса M
— середина отрезка AO
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Верно и обратное: если точка M
— середина отрезка AO
, то окружность, описанная около треугольника ABM
, касается прямой AC
(см. задачу 11625).