11631. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
прямые, проходящие через вершины B
и D
перпендикулярно соответственно диагоналям AC
и CE
, пересекаются в точке F
. Докажите, что AF=FE
тогда и только тогда, когда AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+DE^{2}
.
Решение. По свойству четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (см. задачу 1344)
AB^{2}+CF^{2}=BC^{2}+AF^{2},~DE^{2}+CF^{2}=CD^{2}+FE^{2},
откуда
AB^{2}+CD^{2}=(BC^{2}+AF^{2}-CF^{2})+(DE^{2}+CF^{2}-FE^{2})=
=(BC^{2}+DE^{2})+(AF^{2}-FE^{2}).
Следовательно, равенство
AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+DE^{2}
выполняется тогда и только тогда, когда AF=FE
. Что и требовалось доказать.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 262, с. 36