11633. Дан параллелограмм ABCD
. На диагонали AC
взята точка O
, прямая BO
пересекает отрезок CD
в точке K
. Прямая, параллельная AB
и проходящая через точку O
, пересекает отрезок AD
в точке M
, а отрезок BC
— в точке N
. Оказалось, что четырёхугольник BMKN
вписанный. Докажите, что прямые BM
и AK
перпендикулярны.
Решение. Треугольник CON
подобен треугольнику AOM
, а треугольник COK
— треугольнику AOB
, поэтому
\frac{NO}{OM}=\frac{CO}{OA}=\frac{KO}{OB}.
Значит, KN\parallel BM
, и BMKN
— трапеция. Трапеция, вписанная в окружность, — равнобедренная, поэтому
KM=BN=AM~\mbox{и}~BK=MN=AB.
Точки M
и B
равноудалены от концов отрезка AO
, значит, прямая BM
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, BM\perp AK
. Что и требовалось доказать.