11635. Вписанная окружность равнобедренного треугольника касается его основания в точке D
, а боковых сторон — в точках E
и F
. Прямая, проведённая через точку E
параллельно прямой DF
, повторно пересекает вписанную окружность в точке P
. Докажите, что точка P
принадлежит средней линии треугольника.
Решение. Пусть точки E
и F
лежат на боковых сторонах соответственно AB
и BC
равнобедренного треугольника ABC
, а отрезки DP
и EF
пересекаются в точке K
. Тогда K
— точка пересечения диагоналей вписанной, а значит, равнобокой трапеции DEPF
(или DPEF
). Значит, DK=KF
, а так как KF\parallel CD
и CD=CF
, то
\angle DFK=\angle CDF=\angle CFD.
Равнобедренные треугольники CDF
и KDF
равны по общему основанию DF
и углам при этом основании, поэтому CD=DK=KF=CF
, т. е. CDFK
— ромб. Тогда DK\parallel BC
, а так как D
— середина AC
, то точка K
, а значит, и точка P
, лежит на средней линии треугольника ABC
, параллельной стороне BC
. Что и требовалось доказать.