11639. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
провели биссектрисы AP
и CQ
, которые пересеклись в точке I
. Известно, что центр описанной окружности треугольника CPI
лежит на отрезке AC
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
, 45^{\circ}
, 45^{\circ}
.
Решение. Пусть описанная окружность треугольника CPI
вторично пересекает AC
в точке D
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Известно, что \angle AIC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), поэтому
\angle CDP=\angle CIP=180^{\circ}-\angle AIC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Точка P
лежит на окружности с диаметром CD
, поэтому \angle CPD=90^{\circ}
. Значит,
\angle DCP+\angle CDP=90^{\circ},~\mbox{или}~\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ},
откуда \alpha=90^{\circ}
. Тогда
\angle ACB=\angle BAC=45^{\circ}.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 264, с. 36