11646. На высоте, проведённой из вершины B
треугольника ABC
, лежит точка B_{0}
. Из точки B_{0}
на прямые AB
и CB
опущены перпендикуляры B_{0}A_{1}
и B_{0}C_{1}
, продолжения которых пересекают прямую AC
в точках A_{1}
и C_{2}
соответственно. Докажите, что точки A_{1}
, A_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть углы при вершинах A
и C
треугольника ABC
острые. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок BB_{0}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BB_{0}
. Вписанные в эту окружность углы A_{1}C_{1}B_{0}
и A_{1}BB_{0}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\angle A_{1}C_{1}C_{2}=\angle A_{1}C_{1}B_{0}=\angle A_{1}BB_{0}=\angle ABB_{0}=\angle AA_{2}A_{1}=\angle A_{1}A_{2}C_{2}.
Из точек C_{1}
и A_{2}
, лежащих по одну сторону от прямой A_{1}C_{2}
, отрезок A_{1}C_{2}
виден под одним и тем же углом, следовательно, A_{1}
, A_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности.
Аналогично для случая, когда один из углов при вершинах A
или C
тупой.