11651. В треугольнике ABC
угол A
равен 30^{\circ}
, а угол B
равен 50^{\circ}
. На стороне AC
отметили такую точку P
, что \angle ABP=10^{\circ}
. Докажите, что AC=BP
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AB
, а N
— точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AB
с отрезком BP
. Тогда
\angle BAN=\angle ABN=\angle ABP=10^{\circ},~\angle PAN=\angle PAB-\angle BAN=20^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BPC=\angle BAP+\angle ABP=30^{\circ}+10^{\circ}=40^{\circ}.
Тогда
\angle CBP=180^{\circ}-\angle BPC-\angle ACB=180^{\circ}-40^{\circ}-100^{\circ}=40^{\circ},
поэтому треугольник BCP
равнобедренный, CP=CB
.
Опустим перпендикуляр BH
на прямую AC
. Тогда \angle ABH=60^{\circ}\gt\angle ABC
, поэтому точка H
лежит на продолжении стороны AC
за точку C
, и
\angle CBH=\angle ABH-\angle ABC=60^{\circ}-50^{\circ}=10^{\circ}=\angle MBN.
Кроме того, BH=\frac{1}{2}AB=BM
, поэтому прямоугольные треугольники BHC
и BMN
равны по катету и прилежащему острому углу. Значит, PC=BC=BN
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ANP=\angle CPB-\angle NAP=\angle CBP-(\angle BAP-\angle BAN)=
=40^{\circ}-(30^{\circ}-10^{\circ})=20^{\circ}=\angle PAN,
поэтому треугольник APN
тоже равнобедренный, AP=PN
.
Следовательно,
AC=AP+PC=PN+BN=BP.
Что и требовалось доказать.