11652. В треугольнике ABC
угол A
равен 10^{\circ}
, а угол B
равен 100^{\circ}
. На стороне AC
взяли точки M
и N
так, что \angle ABM=\angle NBC
и AM=MN
. Найдите угол MBN
.
Ответ. 80^{\circ}
.
Решение. Из треугольника ABC
находим, что \angle ACB=70^{\circ}
. Отметим на стороне AC
точки M'
и N'
, для которых \angle ABM'=\angle CBN'=10^{\circ}
. Тогда треугольник AM'B
равнобедренный, M'A=M'B
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BN'M'=10^{\circ}+70^{\circ}=80^{\circ},
а так как
\angle M'BN'=100^{\circ}-10^{\circ}-10^{\circ}=80^{\circ}=\angle BN'M',
то треугольник M'BN'
тоже равнобедренный, BM'=BN'
. Тогда AM'=BM'=M'N'
.
Если
\angle ABM=\angle CBN\gt10^{\circ},
то AM\gt AM'
и CN\gt CN'
. Значит,
AM\gt AM'=M'N'=AC-AM'-CN'\gt AC-AM-CN=MN.
Если
\angle ABM=\angle CBN\lt10^{\circ},
то AM\lt AM'
и CN\lt CN'
. Значит,
AM\lt AM'=M'N'=AC-AM'-CN'\lt AC-AM-CN=MN.
Следовательно,
\angle ABM=\angle CBN=10^{\circ},
и поэтому точка M
совпадает с M'
, а точка N
— с точкой N'
. Значит,
\angle MBN=\angle M'BN'=80^{\circ}.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 259, с. 35