11654. В треугольнике ABC
высота AH
пересекает медиану BM
в точке K
. Найдите угол между высотой и медианой, если AK=BC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. На продолжении медианы BK
за точку M
отложим отрезок MP=BM
. Тогда четырёхугольник ABCP
— параллелограмм, поэтому AP=BC=AK
и AP\parallel BC
. Значит, треугольник APK
равнобедренный и прямоугольный. Следовательно,
\angle AKM=\angle AKP=45^{\circ}.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 257, с. 35