11657. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BD
. На стороне BC
отмечена точка E
, а на продолжении стороны CA
за точку A
— точка F
. Оказалось, что BD=DC
, BE=DE
, а прямые EF
и BD
перпендикулярны. Докажите, что BA
— биссектриса угла DBF
.
Решение. Пусть прямая EF
пересекает прямые BD
и AB
в точках K
и L
соответственно. В треугольнике BEL
биссектриса BK
является высотой, значит, этот треугольник равнобедренный, BE=BL
.
Обозначим \angle ABD=\angle CBD=\alpha
. Тогда \angle BCD=\alpha
, а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BDF=\angle CBD+\angle BCD=\alpha+\alpha=2\alpha.
Высота EK
равнобедренного треугольника BED
является его медианой, поэтому прямая FE
— серединный перпендикуляр к отрезку BD
. Тогда FB=FD
, т. е. треугольник BFD
равнобедренный. Значит,
\angle DBF=\angle BDF=2\alpha,
а так как \angle ABD=\alpha
, то
\angle ABF=\angle DBF-\angle ABD=2\alpha-\alpha=\alpha.
Следовательно, BA
— биссектриса угла DBF
.
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э. XXI—XXII турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2020. — № 253, с. 35